Lecture 6: Support Vector Machine
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摘要 | ||
文档详细介绍了支持向量机(SVM)的核心概念和相关技术。SVM是一种基于超平面线性分类器,通过最大化间隔来获得最佳分类效果。支持向量是指在边缘界限上或附近的训练样本,这些样本对于确定 SVM 模型至关重要。本文还讨论了核函数的应用,使得 SVM 能够处理非线性问题,并介绍了软间隔 SVM ermöglicht 某些训练样本误分类或处于间隔区域内,以提高模型的鲁棒性。 | ||
AI总结 | ||
以下是对文档内容的总结,语言简洁明了,重点突出核心观点和关键信息,逻辑连贯:
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**支持向量机(SVM)总结**
### 1. SVM 的基本形式
SVM 是一种基于超平面的线性分类器,通过权重向量 \( \omega \) 和偏移 \( b \) 定义分类器。其预测规则为:
\[ y = \text{sign}(\omega^T x + b) \]
目标是通过训练数据 \(\{(x^{(i)}, y^{(i)})\}_{i=1}^m\) 学习 \( \omega \) 和 \( b \),使得分类器的间隔(margin)最大化。在理想情况下,假设所有训练数据都能被正确分类。支持向量(support vectors)是那些位于间隔边界上的数据点,即满足 \( y^{(i)}(\omega^T x^{(i)} + b) = 1 \) 的数据点。
### 2. SVM 的对偶问题与解
SVM 的解可以表示为支持向量的线性组合:
\[ \omega^* = \sum_{s \in S} \alpha_s^* y^{(s)} x^{(s)} \]
其中 \( S \) 是支持向量的索引集合。通过对偶问题将原始优化问题转化为更容易求解的形式。
### 3. 带核的 SVM
对于非线性分类问题,SVM 引入核函数 \( K(x^{(i)}, x^{(j)}) \) 来计算高维空间中的内积,从而避免显式映射。分类器的预测公式为:
\[ y = \text{sign}\left( \sum_{s \in S} \alpha_s^* y^{(s)} K(x^{(s)}, x) + b^* \right) \]
核化 SVM 在测试时需要支持向量(除非特征函数 \( \phi(x) \) 可以显式表示为合理尺寸的向量)。
### 4. 软间隔 SVM
软间隔 SVM 允许一些训练样本被误分类或位于间隔区域内。在现实数据中(可能存在噪声或不可分离时),这种方法更具鲁棒性。
### 5. 序列最小化优化(SMO)算法
SMO 是一种高效求解 SVM 的算法,用于优化 SVM 的对偶问题,尤其适用于大规模数据集。
### 核心信息
- **支持向量**:决定分类器的间隔边界。
- **核函数**:用于处理非线性数据。
- **软间隔**:允许误分类以适应噪声数据。
- **SMO 算法**:高效求解 SVM 的优化问题。
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以上是文档的核心内容和结构梳理,涵盖了 SVM 的基本形式、优化方法、核技巧、软间隔扩展及算法实现等关键点。 |
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