机器学习课程-温州大学-线性代数回顾

### 《机器学习课程-温州大学-线性代数回顾》总结 本文是对黄海广副教授授课的《机器学习课程-温州大学-线性代数回顾》的内容进行的总结，涵盖行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量及二次型的主要内容，重点突出核心概念和关键信息，结构清晰，逻辑连贯。 --- #### **目录** 1. **行列式** 2. **矩阵** 3. **向量** 4. **线性方程组** 5. **矩阵的特征值和特征向量** 6. **二次型** --- #### **1. 行列式** 行列式是对n阶方阵的一个标量值，绝对值代表了矩阵对应的平行四边形的有向面积。 **关键点：** - **性质**： - 行列式等于其转置矩阵的行列式。 - 交换两行改变符号，行交换、行操作（加减倍数）会影响行列式值。 - 行列式的展开式和余子式。 - 判断矩阵可逆性：行列式不为零，则矩阵可逆。 --- #### **2. 矩阵** 矩阵是m×n个数aij排成的表格，记为A或aij (m×n)。若m = n，则称为n阶方阵。 **关键点：** - **矩阵的运算**： - 加法、乘法。 - 矩阵乘积的结合律和分配律。 - 矩阵的转置。 - **矩阵的分解**： - 矩阵的秩及其意义。 - 线性无关列或行的数量。 - **特征值和特征向量**： - 定义：对于方阵A，满足Ax = λx的标量λ为特征值，x为特征向量。 - 特征值的求解：|A - λI| = 0。 - 私性：实对称矩阵的特征值为实数，正定矩阵的特征值为正数。 --- #### **3. 向量** 向量用于描述空间中的点或方向，也可表示为列矩阵或行矩阵。 **关键点：** - **线性相关与无关**： - 若向量组中存在一个向量可由其他向量线性表示，则称为线性相关。 - 向量组线性无关当且仅于其中任意一个向量不能由其他向量线性表示。 - **线性表示**： - 若向量β可由向量组α1, α2, ..., αs线性表示，则秩(α1, α2, ..., αs) = 秩(α1, α2, ..., αs, β)。 --- #### **4. 线性方程组** 研究齐次和非齐次方程组的解的情况。 **关键点：** - **齐次方程组Ax = 0**： - 解空间是向量空间，解由基础解系生成。 - **基础解系**： - 最大无关解组，解空间的极大线性无关组。 - **通解**： - 齐次方程的特解加上通解。 --- #### **5. 矩阵的特征值和特征向量** 特征值与特征向量用于描述矩阵的结构和性质。 **关键点：** - **特征方程**： - |A - λI| = 0，解得特征值λ。 - **特征向量**： - 对于每个λ，解(A - λI)x = 0得到特征向量x。 - **性质**： - 矩阵的行列式等于其特征值的乘积。 - 矩阵的迹等于其特征值的和。 --- #### **6. 二次型** 二次型是形式为x^T A x的多项式，其中A为对称矩阵。 **关键点：** - 矩阵的二次型在坐标系变换下保持不变。 - 实对称矩阵的特征值为实数，正定矩阵的二次型恒正定。 --- #### **总结** 本文回顾了线性代数的基础知识，涵盖行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量及二次型等内容，重点突出每个部分的核心概念和关键信息，确保内容简洁明了，逻辑清晰，易于理解。 **参考文献**： 1. https://github.com/fengdu78 2. 《线性代数》，同济大学