为了避免这种情况的发⽣，我们采⽤平衡树：任意节点的⼦树的⾼度相差⽆⼏ 平衡树⾼度约为 ⼆叉平衡树有AVL Tree、⼆三树、红⿊树等多种实现 24 ⼆叉平衡树 AVL Tree 当树发⽣不平衡的时候，需要进⾏旋转来再次获得平衡 根据⼦树⾼度进⾏重新排列，使⾼度更⾼的⼦树处在较浅的位置 AVL树在每次插⼊、删除后都进⾏调整，维持树的平衡 插⼊、删除操作类似于标准⼆叉搜索树 为⽅便维护，在节点中添加⾼度属性 left: AVLTree, right: AVLTree) -> AVLTree 6. fn height(tree: AVLTree) -> Int 25 ⼆叉平衡树 AVL Tree 26 ⼆叉平衡树 AVL Tree 我们对⼀棵树进⾏再平衡操作 1. fn balance(left: AVLTree, z: Int, right: AVLTree) -> AVLTree { 2 Empty => ... 7. } 8. } 28 总结 本章节我们学习了树这⼀数据结构，包括 树的定义及相关术语 ⼆叉树的定义以及遍历 ⼆叉搜索树的定义以及增删操作 ⼆叉平衡树AVL树的再平衡操作 拓展阅读 《算法导论》第12、13章 29

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6. 散列表 hello‑algo.com 91 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6. 散列表 hello‑algo.com 89 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6. 散列表 hello‑algo.com 87 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.5. 小结 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； 6. 散列表 hello‑algo.com 87 ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.5. 小结 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 6. 散列表 hello‑algo.com 90 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算

3. 二叉搜索树 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.4. AVL 树 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.5. 小结 局限性，包括： ‧ 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间； ‧ 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素； 为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 ?(log ?) 。 6.2.3. 开放寻址 「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 条件。与数组扩容的原理类似，哈希表扩容操作开销也很大。 ‧ 链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中，从而解决哈希冲突。 链表过长会导致查询效率变低，可以通过把链表转化为 AVL 树或红黑树来解决。 ‧ 开放寻址通过多次探测来解决哈希冲突。线性探测使用固定步长，缺点是不能删除元素且容易产生聚集。 多次哈希使用多个哈希函数进行探测，相对线性探测不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了计算